一九七八年第二届国际中学生教学竞赛试题

【本刊讯】一九七八年七月一日至十一日在罗马尼亚布加勒斯特举行了第二十届国际中学生数学竞赛，共有六个试题，由古巴、美国、英国、法国和荷兰出题，各题得分分别为６分、７分、５分、６分和８分。现将此六个试题刊登如下：
１数１９７８与１９７８的最后三位数相等，试求出正整数ｎ和ｍ，使得ｍ＋ｎ取最小值。这里ｎ＞ｍ≥１。
（６分，古巴）
２在一个球体内有一定点Ｐ，球面上有Ａ、Ｂ、ｃ三个动点，＜ＢＰＡ＝＜ＣＰＡ＝＜ＣＰＢ＝９０°。以ＰＡ、ＰＢ和ＰＣ为棱，构成平行六面体，点Ｑ是六面体上与Ｐ斜对的一个顶点，当Ａ、Ｂ、Ｃ在球面上移动时，求Ｑ点的轨迹。
（７分，美国）
３设ｆ，ｇ：Ｚ→严格递增函数，且ｆ（）ｕｇ（）＝，ｆ（）ｎｇ（）＝Φ，ｇ（）＝ｆ〔ｆ（ｕ）〕＋１，求ｆ（２）。这里是正整数集合，Φ是空集。
（８分，英国）
４在△ＡＢＣ中，边ＡＢ＝ＡＣ，有一个圆内切于△ＡＢＣ的外接圆，并且与ＡＢ、ＡＣ分别相切于Ｐ、Ｑ，求证Ｐ、Ｑ连线的中点是△ＡＢＣ的内切圆圆心。
（５分，美国）
５已知α，α，…，α，…为两两各不相同的正整数，求证对任何正整数ｎ，下列不等式成立：ｎｎ
ａｋ１——
ｋ＝１ｋｋ＝１ｋ
（６分，法国）
６一个国际社团的成员来自六个国家，共有成员１９７８人，用１，２，３，……，１９７７，１９７８编号，请证明，该社团至少有一个成员的顺序号数，与他的两个同胞的顺序号数之和相等，或是一个同胞的顺序号数的二倍。
（８分，荷兰）