第３１届国际数学奥林匹克试题

【本报讯】应读者要求，现将第３１届国际数学奥林匹克试题刊登如下：第一天  北京 １９９０.７.１２
１、在一圆中，两条弦ＡＢ、ＣＤ相交于Ｅ点。Ｍ为弦ＡＢ上严格在Ｅ、Ｂ之间的点、过Ｄ、Ｅ、Ｍ的圆在Ｅ点的切线分别交直线ＢＣ、ＡＣ于Ｆ、Ｇ。已知
ＡＭ／ＡＢ
＝ｔ·
求ＧＥ／ＥＦ（用ｔ表示）（印度）
２、设ｎ≥３．考虑在同一圆周上的、２ｎ－１个互不相同的点所成的集合Ｅ，将Ｅ中一部分点染成黑色，其余的点不染颜色。如果至少有一对黑点，以它们为端点的两条孤中有一条的内部（不包含端点）恰含Ｅ中ｎ个点，则称这种染色方式为好的。如果将Ｅ中Ｋ个点染黑的每一种染色方式都是好的，求Ｋ的最小值。（捷克和斯洛伐克）
３、求出（并予以证明）所有大于１的整数ｎ，使为整数（罗马尼亚）
时间：４又二分之一小时每一道题７分第二天  北京  １９９０.７.１３
４、Ｑ是全体正有理数所成的集合，试作一个函数ｆ：ＱＱ，使得对任意的Ｘ、ＹＱ，均有
ｆ〔ｘｆ（ｙ）〕＝。（土耳其）
ｙ
５、给定一个初始整数值ｎ。＞１后，两名选手Ａ、Ｂ按以下规则轮流取整数ｎ，ｎｔ，ｎｎ，……：
在已知时，选手Ａ可以取任一整数ｋ＋：，使得ｎｋｋ＋ｋ；
在已知ｋ＋时，选手Ｂ可以取任一整数ｎｋ＋
使得是一个质数的正整数幂。
ｎ
ｋ＋
若Ａ取到１９９０，则Ａ胜，若Ｂ取到１，则Ｂ胜。
对怎样的初始值ｎ。，（１）Ａ有必胜策略，（２）Ｂ有必胜策略，（３）双方均无必胜策略？（联邦德国）
６、证明存在一个凸１９９０边形，同时具有下面的性质（ｉ）与（ｉ。
（ｉ）所有的内角均相等；
（ｉｉ）１９９０条边的长度是１，２，…，１９８９，１９９０的一个排列。（荷兰）
时间：４又二分之一小时每一道题７分