大开眼界系列（8）隐藏于大自然中的数学

【台湾《牛顿》月刊文章】题：隐藏于大自然的数学
本文将让最讨厌数学的人懂得如何享受数学的乐趣。事实上，数学并非只是我们在学校所学的计算方法和各项公式。数学家的工作是找出尚未发现的模式，目前在生活中已经找到许多模式，例如雪花结晶、植物种子、动物外表等，都有数学模式。本文即为读者介绍隐藏于大自然中的数学。
“对称”
我们经常使用“左右对称”一词，但是究竟何谓“对称”？数学家并不以第一印象来辨认对称，而是采用“变换”（transformation）的观点。所谓“变换”是指改变观测对象的位置和大小，如果改变之后依然保持同样形态，即称其具有对称性。
产生对称性有3种重要变换，即反射、旋转和平移。反射变换最简单的是以镜子来说明，镜子里的影像总是左右颠倒，但如果镜子内的影像看起来与实际影像没有差别，即称为对反射变换对称，例如热带鱼的外表是左右对称，镜子内也会看到相同的样子。
旋转变换必须借旋转物体来决定，将观测对象旋转某个角度后，若仍然保持相同的形态即是对旋转变换对称，例如将正方形每旋转90度后，均能回到原来的形态，即称其为对旋转变换对称。平移变换是在平行移动时观察，将观测对象向适当方向以固定距离移动时，若仍保持同样形态，即为对平移变换对称。
“分形”
“分形”（fractal）一词是法国数学家曼德尔布罗（Benoit　Mandelbrot）于1970年前后所创造，系指具备“分割出图形中的任意部位并加以放大，将可以发现此部位类似于原来未分割前的整体”特点的图形。曼德尔布罗研究过证券市场、河川水量、海岸线等多种现象，发现任何研究对象的细部或大范围部分都具有复杂的结构。例如在图表上绘出证券市场每月成交价格的曲线，必定是不规则变化，如果改以每星期、每天、每小时，甚至每分钟为单位的变化曲线，还是有不规则状况，他还发现部分变化极类似整体变化的情形。
分形是混沌的几何学，也与混沌理论一样被广泛应用于多种领域，其中最重要的应用是在电脑软件中的图像压缩技术。
“费氏数列”
仔细观察植物也可以发现一些令人惊异的模式，例如菠萝外皮的钻石形模样，斜向左下方的有8列，向右下方的则有13列。
松毯鳞片是以螺旋状排列，小型的松毯是向右或向左排出5列，反方向则有8列，较细长松毯的螺旋状是8列和13列，部分德国云杉（Picea　abies）的松毯螺旋状是3列和5列。向日葵种子排成左34支、右55支的螺旋状。
将上述各项数值由较小值起依序排列，则是3、5、8、13、21、34、55，读者是否发现此一连串数值中含有一项定律？其中任何数字都是前两个数字的和，在数学上，此数列称为“费氏数列”（Fibonacci　sequence　of　numbers）。
图片说明：
1、斑马的条纹以它的身体为基准形成左右对称。

2、仿蛱蝶的翅膀上的图案是对反射变换对称。

3、雪的结晶，为对60度倍数角旋转变换对称。

4、星龟甲壳上的六角形图案，为对旋转变换对称。

5、分形图像中最出名的“曼德尔布罗集合”图像是反复求出w＝z2＋c方程式的解并在坐标上表示的结果。乍看之下十分复杂的图形，其实是由一项公式产生的单纯图形反复出现的结果。

6、太平洋沿岸旋涡状飓风图像。天气预报之所以不太准确主要是因为天气具有混沌的成分。

7、菠萝表面的钻石形模样是以螺旋状排列。日常生活中随处可见以“费氏数列”排列的结构。